1927. Area in Triangle

Given a triangle field and a rope of a certain length, you are required to use the rope to enclose a region within the field and make the region as large as possible.

Input. The input has several sets of test data. Each set is one line containing four numbers separated by a space. The first three indicate the lengths of the edges of the triangle field, and the fourth is the length of the rope. Each of the four numbers have exactly four digits after the decimal point. The line containing four zeros ends the input and should not be processed. You can assume each of the edges are not longer than 100.0000 and the length of the rope is not longer than the perimeter of the field.

Output. Output one line for each case in the following format:

Case i: X

Where i is the case number, and X is the largest area which is rounded to two digits after the decimal point.

Sample Input

12.0000 23.0000 17.0000 40.0000

84.0000 35.0000 91.0000 210.0000

100.0000 100.0000 100.0000 181.3800

0 0 0 0

Sample Output

Case 1: 89.35

Case 2: 1470.00

Case 3: 2618.00

РЕШЕНИЕ

геометрия

Анализ алгоритма

Если длина веревки d больше периметра треугольника (L = a + b + c), то ответом будет площадь треугольника.

Пусть окружность, вписанная в треугольник, имеет радиус r. Если длина веревки d не больше длины этой окружности 2 π r, то веревку следует выложить в виде окружности с длиной d. Радиус r' такой окружности найдем из соотношения 2 π r‘ = d. Откуда r’ = d / 2 π. Площадь окружности составит π r’² = = .

Если длина веревки d больше длины вписанной в треугольник окружности, то ее следует расположить следующим образом:

Если три дуги возле углов треугольника сложить вместе, то получится окружность (все три дуги имеют один радиус). Проведем XY || AB. Впишем окружность в треугольник YXC. Ее длина равна сумме длин трех дуг, радиус равен r'.

L – d = P_YXC – 2 π r’ = Lt – 2 π r t, где t – коэффициент подобия треугольников ABC и YXC. Отсюда t = (L – d) / (L – 2 π r). Радиус окружности, вписанной в треугольник YXC, равен r' = rt.

Площадь области, окруженной веревкой, равна площади треугольника ABC минус площадь треугольника YXC плюс площадь круга, вписанного в треугольник YXC.

Реализация алгоритма

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#define Pi acos (-1.0)

int main(void)

{

double a, b, c, d;

int test = 1;

while (scanf ("%lf %lf %lf %lf", &a, &b, &c, &d), a + b + c + d != 0)

{

double L = a + b + c;

double cosA = (b * b + c * c - a * a) / (2 * b * c);

double S = 0.5 * b * c * (sqrt (1-cosA * cosA));

double r = S * 2 / L;

double ans;

if (d > L)

{

ans = S;

}

else if (2 * Pi * r >= d)

{

ans = d * d / (4 * Pi);

}

else

{

double t = (L - d) / (L - 2 * Pi * r);

double rr = r * t;

ans = S - S * t * t + Pi * rr * rr;

}

printf ("Case% d:% .2lf\n", test++, ans);

}

return 0;

}